漢検1級模擬試験倉庫

遥かなる数学の旅

二週間ごとに書いている個人的な計画の記事です。

興味のある方のみコチラ↓



◇作業中

・模試45
・故事熟語記事作成
・訓読みチェック

◇計画中

・「ランダムミニ模試」に問題追加
・ビギナー向け模試その2


久々に通常の模試を作り始めました。
形式としては直前模試と同じなので、久々といっても特に新鮮味(?)はないのですが、作っているときの感覚が他の模試とは違う感じがします。
難易度の調整の仕方がよく分からなくなってきているのですが、気にしていると進まないので、細かいことは気にせずに作っています(苦笑)
ちなみに、公開は9月21日の予定です。(気が早い(笑))



(余談)
私は数学が得意というほどではありませんが、問題を解くのは好きです。
今回は、私が長年考え続けた数学の問題の話をしたいと思います。

突然ですが、問題です。

テニス、バレーボール、卓球、バドミントンなどの競技には、「デュース」というルールがあります。
幾つかの条件を満たして「デュース」の状態になると、勝つには2点差を付けなければいけないというルールです。

どれだけ実力が拮抗していても、長く続く確率は0に近づいて行き、いつかはどちらかが2点差を付けて決着が付くと考えられるわけですが、では、「デュース」の状態になった時点から、決着が付くまでの平均の対戦数(対戦数の期待値)はどの程度になるでしょうか…?
ただし、「デュース」の状態では点差はなく、1対戦でそれぞれ50%ずつの確率でどちらかに1点が入るものとします。

…はい、早速答えです(笑)
証明は省きますが、平均は4対戦になります。
この問題は似た形で大学入試の問題になっているので、難易度としては「数学の得意な高校生なら解ける」レベルだと思います。

さて、ここからが本当の問題です。
1対戦で必ず1点差がつき、2点差がつくには平均4対戦必要となると、「では3点差だと平均9対戦になる?」とか「もっと一般にn点差のルールだと?」という疑問が湧いてきます。
(「湧いてきません」という声は無視します(笑))

問題を整理すると、「n点差が付くまでの対戦数の平均はn^2(=n×n)になるのか…?」ということになりますが、数学に自信のある方はこの問題が解けるでしょうか…?

そろそろ、数学の苦手な人に拒否反応が出ているころでしょうか…^^;
以降は、殆ど数学的な内容に触れることはないのでご安心ください(笑)

この問題は、私が10年以上前に友人から質問されたものです。
「恐らくそうなるだろう」という結論は比較的すぐに出たのですが、厳密な証明となると、個人的にはかなりの難問でした。

その厳密な証明に辿り着いたのは、恥ずかしながら考え始めてから6年後のことです💦
勿論、6年間もの間ずっと考え続けていたわけではないのですが、長い間、ふと思い出しては考えてみて、やはり分からない、ということを繰り返していました。

証明が出来たことで一応は解決したのですが、その証明内容は計算量が多く、個人的には詳しくない分野の手法を少し用いたので、ややスッキリしない部分もありました。
そこから考えを進めてみたこともあるのですが、特に目立った成果も無く、徐々にこの問題のことを考えることもなくなりました。

事態が動いた(?)のは、そこからまた年月が経って、去年の12月ごろ、とある方から数学の問題の質問を受けたときのことです。
上の問題とは直接関係の無いものだったのですが、その問題に使った手法を、上の問題にも活かせるということにふと気づきました。
これを基にして考えたところ、全く異なる証明方法を見つけることができました。

証明の計算量という点では、前の証明方法よりも更に多くなってしまいましたが、こちらの手法では、スッキリしていなかった点が解決されて、個人的にはこちらの方が満足の行く内容になりました。

これによって、全てが解決したような気分でいたのですが、更に先日、また新たな発見がありました。
上の証明で使った手法を用いて、もっと考えられることはないかと、更なる一般化を考えていたのですが、その途中で上の二つとは全く異なる証明方法があることに気が付きました。

しかもその方法は、計算量が格段に少なく、特別難しい概念を使うこともないシンプルなものでした。
あまりのシンプルさに、何だか狐につままれたような気分になりました(笑)

…ということで、解きようによってはシンプルに解ける問題を10年以上も回りくどく考え続けてしまった、というオチになってしまいました(笑)
「幸せの青い鳥」とは違いますが、大きな回り道をしてしまったものです💦
もしかしたら、もっと簡単な方法を見つけられる方も現れるかもしれませんね…^^;

ただ、個人的にはこの「回り道」は貴重な経験だったと思っています。
この「回り道」では、様々な分野の手法を考えました。
具体的には、問題のテーマとなっている「確率」は勿論のこと、「数列」「行列」「極限」「三角関数」「複素数」「微分」と最初の問題からは想像もできないほど、色んな「道」を通りました。
特に、幾つかの証明方法が見つかったことで、意外な等式なども見つかり、数学の面白さや奥深さを感じることができました。

等式
(例えば、こんな等式…パッと見だと意外な感じがするのではないでしょうか…?)

…ということで、数学に関する話を長々としてきましたが、ここからは漢字の話に戻ります。

「回り道」も悪くないと思ったことで感じたことがあります。
弊ブログの出題内容など、少し「効率」という点を考えすぎているのではないかということです。

勿論、「効率」という点は大事ですが、時には「回り道」をしてみても良いのではないかと思いました。
具体的にどんな「回り道」があるのかは分かりませんが、失敗を恐れずに色々と挑戦してみることも大事ですよね。

本試験がすごい勢いで難化しているので、なかなか「回り道」ができないという事情もありますが(苦笑)、少し漢検から離れたような内容のものも考えてみたいところです。
数学の経験を通じて、このような考えが生まれたのも「回り道」をしたおかげかもしれませんね(笑)
関連記事

コメント

解けました

漢字より数学の問題の方に興味が行ってしまいました。

最初はランダムウォークのモデルを用いてn=2からまともに計算しましたが、nが大きくなるに従って膨大な計算量になり、とても一般化できないと思いました。

今日、期待値の漸化式を作ればいわゆる「破産の確率」問題の手法が使えることに気付き、一気に解決しました。

漸化式
E(n)=1+1/2E(n -1)+1/2E(n+1)
と初期条件
E(2n)=E(0)=0

からE(n)=n^2を導く方法はおそらく最後に発見されたという一番シンプルな解法ですよね。
他の膨大な計算を必要とする解法がどんなものかが気になるところであります。

  • 2019/09/08(日) 21:40:13 |
  • URL |
  • くーさんまーさん #-
  • [ 編集 ]

考えていただき感謝です

くーさんまーさんさん、コメントありがとうございます。
私が10年以上悩んだ問題をあっという間に解かれてしまったようですね(苦笑)

仰る通り、E(n)に関する漸化式が最終的に気が付いた解法です。
「破産の確率」問題というものがあるんですね。
後ほど調べてみたいと思います。

私が最初に考えた証明法は正攻法(?)で進めていくだけですので、時間をかければ解き進めることができるのではないでしょうか。
簡単に言うと、K対戦後に「(Aの点数)-(Bの点数)=L」となる確率P(K,L)の漸化式を立てて、行列の知識を使って漸化式を解くということです。
その計算をしてみたいと思われるかどうかは分かりませんが、楽しみを奪ってしまってはいけないので、詳しくは割愛します。

話は変わりますが、ランダムウォークという言葉を久々に耳にしました(笑)
私も過去に少しだけ勉強したことがありますが、かなり難しいものだと記憶しています。
そういった内容を活用できるということは、相当数学にはお詳しそうですね。
もし今回の問題に関して、何か他にお気づきのことがあれば、是非ともご教示いただきたいところです。

問題を考えていただいたようで、大変感激しております。
どうもありがとうございました。

  • 2019/09/08(日) 23:06:15 |
  • URL |
  • spaceplusKK #hHfHWlpo
  • [ 編集 ]

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する